小さな数学者の独言

1. A47+A32+A41=432030
2. A47+A19+A14+A40=432030
3. A15+A17=A32
4. A8+A33=A41
5. A25=A17+A8
6. A19=A14+A5
7. A20=A4+A13+A3
8. A9=A4+A5
9. A34=A6+A16+A12
10.A5+A9=A14
11.A13=A4+A9
12.A10+A3=A13
13.A23=A20+A3
14.A34+A6=A40
15.A16=A10+A6
16.A15+A32=A47
17.A46=A34+A12
18.A33=A8+A25
19.A12+A46=A25+A33
20.A20+A4=A19+A5
21.A10+A16=A3+A23
22.A19+A20+A23=A47+A15
23.A40+A6=A14+A9+A13+A10
24.A17+A25+A12=A15+A23+A16

方程式は立った。
とりあえず、3～18を他の式に代入し、変数を消去していこう。

1'.3A8+3A15+3A17=432030 → A8+A15+A17=144010
2'.2A4+5A5+2A6+A10+A12+A15+A17=432030
3'.A6+A10+3A12=3A8+2A17
4'.A3+4A4+A5=A4+4A5 → A3+3A4=3A5
5'.A6+2A10=3A3+3A4+A5
6'.3A3+7A4+5A5=3A15+A17
7'.4A6+A10+A12=4A4+4A5+A10 → 4A6+A12=4A4+4A5
8'.A8+A12+2A17=2A3+3A4+A5+A6+A10+A15
9'.2A4+A5=A10+A3

残った変数はA3,A4,A5,A6,A8,A10,A12,A15,A17の9個、方程式も9つ。
……これ、不定方程式になってくれるのか？

とりあえずexelに入れて確認すると、正則である(解の組が一つしかない)ことが判明。

ということで、不可能……と。みごと鏤塵(塵をちりばめる、無意味なことの意)に終わった訳だ。
うん。なんかそんな気はしてた。
というか、正方形分割は全部正則になるんじゃないかこの方程式。

因みに、全正方形を2倍した偶数方陣だと可能らしい。
http://plaza.rakuten.co.jp/odazuma/diary/201311100000/
魔方陣の世界はやっぱり奥が深い。

さて、続きと行こう。
今回、このような正方形分割を使用することにした。

[47, 32, 41], [15, 17], [8, 33], [19, 20, 23], [25], [14, 5], [4, 13, 3], [10, 16], [9], [12, 46], [40, 6], [34]である。
(画像はsquaring.netから)

この図形を、魔方陣にする。
その前に、用語をちょっと定義しておきたい。
我流の定義なので一般に使われる用語とは違うのかもしれないが。

「方陣」とは、数を正方形に並べたもので、縦、横、対角線の和が全て等しいもののことを言う。

「魔方陣」とは、方陣の中で、使われている数が全て異なるもののことを言う。

「純魔方陣」とは、方陣の中で、使われている数が1～nであるもののことを言う。

今回は全体が純魔方陣で、分割した正方形が魔方陣になるものを作りたい。

この魔方陣に含まれる、大きさnの魔方陣の一辺の合計をAnとしよう。ここで、一辺がnの純魔方陣は一辺の合計がn(n^2+1)/4となることが知られているので、今回の魔方陣の一辺は120より合計は432030となる。

横の合計を見ると、
A47+A32+A41=432030
A15+A17=A32
A8+A33=A41
A19+A20+A23=A47+A15
A25=A17+A8
A19=A14+A5
A20=A4+A13+A3
A10+A16=A3+A23
A9=A4+A5
A12+A46=A25+A33
A40+A6=A14+A9+A13+A10
A34=A6+A16+A12

縦の合計を見ると、
A47+A19+A14+A40=432030
A5+A9=A14
A20+A4=A19+A5
A13=A4+A9
A10+A3=A13
A23=A20+A3
A34+A6=A40
A16=A10+A6
A15+A32=A47
A17+A25+A12=A15+A23+A16
A46=A34+A12
A33=A8+A25

が成り立つことがわかる。
An=14401n/4はこの式を満たす。だが、Anが整数であることより題意は満たさない。
では、他に解はあるのだろうか。

久しぶりに時間が空いた。
ただし、この「に」は、「一尺に雪が積った」の「に」、「～ぐらいに、～程に」の略。
別に自分の時間が空くのは久しぶりでもなんでもない。モラトリアムなのだから、空き時間くらい用意できる。
ただなんとなく書く気にならなかったというだけなのだ。
だから、空いた「時間」は自分のものじゃなくて、このブログのもの。
という訳で、「久しぶり」になるほどこのブログの時間が空いた。年単位って、どれだけ空けるつもりだ本当に。自分のことながら驚く。

まあいいや。

で、書き始めたってことは、ネタがあるってことだ。そのネタを話して行こう。

「魔方陣」というものがある。方、とは方形、正方形のこと。これは数を正方形に並べたもので、
6 1 8
7 5 3
2 9 4
のような、縦横斜めどの方向に和を取っても同じ数になるもののことだ。
上の場合は3×3の魔方陣、もしくは大きさ3の魔方陣と呼ぶ。3以上の全ての自然数nについて、大きさnの魔方陣が存在する。
普通大きさnの魔方陣に使われる数は1～(nの二乗)までだが、けっこう融通が効く。全部素数にしてみたり、全部平方数にしてみたり、バリエーションは色々ある。
(……後者が存在するかどうかはちょっと怪しいんだけど、それは置いとこう)

「単純正方形分割」というものがある。
これは正方形を正方形に並べたもので、具体的には

のようなものである。
概要はwikipedia-ルジンの問題を参照(画像元もそこ)。
図の分割は正方形を上から順に見て、
[50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]
という風に表される。

で、今回の試みは

・この全体の正方形(図なら一辺112)が魔方陣で、
・分割したそれぞれの正方形(図なら50,35,27,...の各正方形)も全て魔方陣になる

魔方陣を作ることである。

ただそこで問題がある。
上の分割には一辺が「2」の正方形が含まれている。
が、一辺が2の魔方陣は存在しない。
全体を2倍して一辺が4の正方形にしてしまう解決法もあるが、どうも大きすぎる(というか、それをやった人が既にいる)。
なら、一辺が1や2の正方形を含まない分割から、方陣を作ればいい。
という訳で、そのような正方形分割を探してみると、
[47, 32, 41], [15, 17], [8, 33], [19, 20, 23], [25], [14, 5], [4, 13, 3], [10, 16], [9], [12, 46], [40, 6], [34]
というものが見つかった。
これを基に、完全分割魔方陣を作ってみようと思う。

　ネットを利用すれば、全く関係の無い第三者として、悪意に簡単に触れられる。それも実態を伴わない、生々しさの無い、健全な悪意だ。「悪意に健全なんてあるのか？」
　「健全」という言い方はおかしいけど、自分に対する害意の無い悪意だ。
　あれが嫌だ、これはおかしい、どれがどうだって、自分にとってはまさにどうでもいいことが転がっている。そしてそれについて言論を交わす多くの人が見られる。
　もちろん、昔からそんなものあったのかもしれない。
　ただ、自分としては「いつでも」「安く」「早く」「うまい」悪意が手に入る、というのは相当なことだと思うのだ。大量生産‐大量消費社会さまさまだ。ちなみに自分としては大量生産と大量消費の間はハイフンで繋ぎたい。
　まあせっかく手に入るのだから、あらゆる悪意を自分の反面教師にしたい。
　どれをしたらおかしいのか、ということによって行動を決めるのはこの青春とよばれる時分において正しいのかどうかはわからないけど。
　だって、「大人たち」はみんなやりたいことをやれとしか言わないんだもん。よく考えたらその「大人たち」も架空のもので、実際大人とそんなに話をしていないことすなわち自分の幼さに気付いた。やったね、純潔だよ！そして潔癖だよ！理想論者だよ！当り前でしょ、数学者だもの。「小さな」でも。
　で、やりたいことをやった結果好奇の目で見られる……と。それが快感だなんてただの強がりだよ、実際。教育が、「好奇の目に対して拒否反応を起こすように刷り込みする」なんてこと程度、できないわけないじゃないか。
　法を犯していなくても、他人に不快な思いをさせていないと思いこもうとしても、どうやったってそれは起きる。反射反射、一種の条件反射だよ。ひどいものだ。
　実際、どんな人にだって悪意は向けられるのだ。ただ、害意を向けられるかどうかは別として。
　誰の目からも輝いて見える聖人君子にも嫉妬の目は付きまとう。いわんやその他をや。
　因みに、自分としては悪意を表明することが害意だと考えている。


　上手いことだけを吸って啜って吐いていられる聖人君子になれるのなら、それもいいのかもしれない。

　自分でも自分の文章が読み辛いと思うことはままある。
　面倒な言葉遣いの羅列、二転三転する意見、高圧口調の文体。
　やめようと思っていても、どうにもやめられない。
　これ以外だと、何かわざとらしい感じがする。
　会話調の軽さ、一方向に固まった説明文みたいな意見、丁寧語等の文体。
　自分が言いたいことに合っていない。
　なぜって、つまるところ、自分は難癖付けたいだけだ。
　鬱憤が溜まっていて、嫌気が差していて、批判したいものだらけだ。
　でも、恐ろしく臆病なので、口を挟むことはしない。それどころか、ネット上でそれらのものに言及することすら出来ない。
　匿名で、閉じこもって、誰にも言わずに、もしここまで来れるものなら来てみろ、と。見たい奴だけが見ればいい、と。そういうことをやっているわけだ。
　「将来に対する漠然とした不安」っていうもの位、大体の大人は体験したことあるんだろう。
　自分だって、一応は、そんな時期の真っただ中だ。ちょうど中心にいるって訳だ。
　だって、高校一年生だもの。……なんか、凄く嘘くさいセリフになった。
　こうやって思うままに書いていると、自分の悪い部分が見えてくる。それをただ自虐することによって、「自分は他の人間と違う」って、なんだっけ、心理学ではパーソナリティとかいうんだっけ？それはちょっと違う？まあ、その、アイデンティティーの確立とかいうやつをしようとしているわけだ。
　ひょっとすると、今自分がやっている全てのことが、そのためにあるんじゃないか、なんて思えてきてしまったりもする。
　数学もそう、音楽もそう、自分がしている全てのことが、思春期特有のいわゆる火病みたいなもので、この不安が無くなったら無気力な人間になってしまうんじゃないか、と。自分が一番嫌悪し、敬愛している無気力に。別に仕方ない、と思わないでもないけど、やっぱり今の時点では何かを生み出していたい。他の人間にとって廃棄物、ゴミクズ、塵芥であれなんであれ、何か自分にとっては意味があるといえるものが出来ればいいと思う。
　……そうか、わかった。
　承が抜けてるんだ。
　自分が書いているときに大抵は抜けてるから、今ここにある内容から、急に「髪って能力にかなり関係あるんじゃないか」みたいな飛び方をしてしまうんだ。
「毎日進歩し続ける」が目標→「男子三日会わざれば剋目して見よ」→「学校では三日会わないとなると土日くらいだよね。三日ぶりに会ったところで大抵はそんなに挨拶もしないし。そんなのなんて髪切ったときくらいじゃね？」→「髪って能力に(以下略)」
　という思考ルートを辿る、ということを省略しているんだ。(あとはこれに「サイヤ人も能力を高めると」みたいな、今時探せばどこかに転がっているであろう「関連深い事実」をくっつければ、もっともらしい発言の完成だ。……そうでもないか。でも、こんなふうにして、大衆って踊らされてるんだよね、という文章展開を考えたが、やっぱいいや)
　……あれ？この議論、前に何回かした気がする。
　べつに面白くも無いのに文章媒体で何度も同じことを言うのは、タブーに値すると思う。なんか国語の説明文であったけど、結論を最初に書いて、そこから半歩も出ずに、例、反例、反例に対する反対で終わるやつ。
　じゃあもういいじゃないか。世間ではそれが教科書に載ってるんだ。正しいとしてまかり通ってるんだ。教科書を盲信する気はさらさら無いし、むしろ誤字脱字があればすぐに難癖付けてやる、位の勢いで見ているつもりだが、国語ではそういう風にやれとのお達しだ。
　結局自分の文章は読みづらいままです、本当にすいません、と、こうすればいいのだろう。
　そういうことだ。